Entiers dont la somme et le PGCD sont connus - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les couples d'entiers naturels non nuls \((x;y)\) tels que \(\begin{align*}\left\lbrace \begin{array}{l}x. 

Solution

D'après la propriété caractéristique du PGCD, on a : 

\(\begin{align*}\left\lbrace \begin{array}{l}x   

On en déduit que les couples \((x';y')\) possibles sont \((1;9)\) et \((3;7)\) , puis, en multipliant par \(10\) , que les couples \((x;y)\) possibles sont \((10;90)\) et \((30;70)\) .